［Octave］一般逆行列を求める

pinv関数を使う。

>> mx = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]
mx =
    1    2    3    4
    5    6    7    8
    9   10   11   12
   13   14   15   16
>> det(mx)
ans = 0
>> inv(mx)
warning: matrix singular to machine precision
ans =
   Inf   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf   Inf
>> pinv(mx)
ans =
  -2.8500e-01  -1.4500e-01  -5.0000e-03   1.3500e-01
  -1.0750e-01  -5.2500e-02   2.5000e-03   5.7500e-02
   7.0000e-02   4.0000e-02   1.0000e-02  -2.0000e-02
   2.4750e-01   1.3250e-01   1.7500e-02  -9.7500e-02
>> mxi = pinv(mx);
>> mx * mxi * mx
ans =
    1    2    3    4
    5    6    7    8
    9   10   11   12
   13   14   15   16

当然、正方行列でなくとも求めることができる。

>> mx = [1 2 3 4; 5 6 7 8]
mx =
   1   2   3   4
   5   6   7   8
>> det(mx)
error: det: A must be a square matrix
>> inv(mx)
error: inverse: A must be a square matrix
>> pinv(mx)
ans =
  -5.5000e-01   2.5000e-01
  -2.2500e-01   1.2500e-01
   1.0000e-01  -2.3434e-17
   4.2500e-01  -1.2500e-01
>> mxi = pinv(mx)
mxi =
  -5.5000e-01   2.5000e-01
  -2.2500e-01   1.2500e-01
   1.0000e-01  -2.3434e-17
   4.2500e-01  -1.2500e-01
>> mx * mxi * mx
ans =
   1   2   3   4
   5   6   7   8

pinv関数はムーア・ペンローズ一般逆行列を数値的に求める関数のため、求まった一般逆行列は近似値であることに注意。ムーア・ペンローズ一般逆行列の定義の4つの式について、比較をした例は以下のとおり。すべての要素が1にならないことがわかる。

>> mx * mxi * mx == mx
ans =
  0  0  0  0
  0  0  0  0
>> mxi * mx * mxi == mxi
ans =
  1  1
  1  0
  0  0
  0  0
>> (mx * mxi).' == mx * mxi
ans =
  1  0
  0  1
>> (mxi * mx).' == mxi * mx
ans =
  1  1  0  0
  1  1  0  0
  0  0  1  0
  0  0  0  1