［R］後退代入法で連立方程式を解く

backsolve関数を使う。以下は連立方程式を行列で表記し、上三角行列の係数行列をA、定数項行列をy、求める解をxとおき、x = Ayと考えてxを求めた例。backsolve関数だけではなく、solve関数を使った例、逆行列を求めて正規方程式を解いた結果も示したが、得られた解は同じであることがわかる。

> set.seed(6)
> mxaa <- matrix(trunc(runif(16, 1, 10)), 4, 4)
> mxaa[lower.tri(mxaa)] <- 0
> print(mxaa)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    6    8    5    1
[2,]    0    9    1    3
[3,]    0    0    6    7
[4,]    0    0    0    3
> mxy <- matrix(trunc(runif(4, 1, 10)), 4, 1)
> print(mxy)
     [,1]
[1,]    5
[2,]    7
[3,]    2
[4,]    7
> backsolve(mxaa, mxy)
           [,1]
[1,]  2.0812757
[2,]  0.2654321
[3,] -2.3888889
[4,]  2.3333333
> solve(mxaa, mxy)
           [,1]
[1,]  2.0812757
[2,]  0.2654321
[3,] -2.3888889
[4,]  2.3333333
> print(solve(t(mxaa) %*% mxaa) %*% (t(mxaa) %*% mxy))
           [,1]
[1,]  2.0812757
[2,]  0.2654321
[3,] -2.3888889
[4,]  2.3333333

backsolve関数は、与えられた行列の上三角の成分だけを使って解く。以下のとおり、すべての成分を使って解くsolve関数とは得られた解が違うことがわかる。

> set.seed(6)
> mxaa <- matrix(trunc(runif(16, 1, 10)), 4, 4)
> mxy <- matrix(trunc(runif(4, 1, 10)), 4, 1)
> print(mxaa)
     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    6    8    5    1
[2,]    9    9    1    3
[3,]    3    9    6    7
[4,]    4    7    9    3
> print(mxy)
     [,1]
[1,]    5
[2,]    7
[3,]    2
[4,]    7
> backsolve(mxaa, mxy)
           [,1]
[1,]  2.0812757
[2,]  0.2654321
[3,] -2.3888889
[4,]  2.3333333
> solve(mxaa, mxy)
           [,1]
[1,]  1.8801598
[2,] -1.3715047
[3,]  0.8322237
[4,]  0.5299601

［Python］行列のアダマール積を求める

*演算子を使う。それぞれndarray型を指定する。

>>> import numpy as np
>>> mxxx = np.array([[1, 2, 3], [2, 3, 4], [2, 5, 6]])
>>> print(mxxx)
[[1 2 3]
 [2 3 4]
 [2 5 6]]
>>> mxxx * mxxx
array([[ 1,  4,  9],
       [ 4,  9, 16],
       [ 4, 25, 36]])

［Python］行列の積を求める

行列Aと行列Bの積ABを求めるには、numpyモジュールのdot関数を使う。引数にそれぞれndarray型を指定する。行列の乗法は、左側の行列Aの列の数と右側の行列Bの行の数が一致している場合のみ求めることができる（そのような定義になっている）。左右の列数と行数が一致しない場合はエラーが発生する。

>>> import numpy as np
>>> mxaa1 = np.array([[1, 2, 3], [2, 3, 4], [2, 5, 6]])
>>> mxbb1 = np.array([[1, 0, 1], [0, 1, 0], [0, 1, 1]])
>>> print(mxaa1)
[[1 2 3]
 [2 3 4]
 [2 5 6]]
>>> print(mxbb1)
[[1 0 1]
 [0 1 0]
 [0 1 1]]
>>> np.dot(mxaa1, mxbb1)
array([[ 1,  5,  4],
       [ 2,  7,  6],
       [ 2, 11,  8]])
>>> mxaa2 = np.array([[1, 0, 1], [0, 1, 0]])
>>> mxbb2 = np.array([[1, 2], [0, 1], [0, -2]])
>>> print(mxaa2)
[[1 0 1]
 [0 1 0]]
>>> print(mxbb2)
[[ 1  2]
 [ 0  1]
 [ 0 -2]]
>>> np.dot(mxaa2, mxbb2)
array([[1, 0],
       [0, 1]])

［Python］行列のスカラー倍を求める

ndarray型に*演算子を使う。それぞれスカラー（数や関数のこと）と行列を指定する。

>>> import numpy as np
>>> a = 3
>>> mxxx = np.array([[1, 2, 3], [2, 3, 4], [2, 5, 6]])
>>> print(mxxx)
[[1 2 3]
 [2 3 4]
 [2 5 6]]
>>> a * mxxx
array([[ 3,  6,  9],
       [ 6,  9, 12],
       [ 6, 15, 18]])

［Python］行列の和と差を求める

ndarray型に+演算子または-演算子を使う。行列の和と差の定義（行の数と列の数が同じ行列同士の各成分を足す、引く）から、二つの行列の行数と列数が一致しない場合はエラーが発生する。

>>> import numpy as np
>>> mxaa1 = np.array([[1, 2, 3], [6, 4, 2]])
>>> mxbb1 = np.array([[1, 1, 0], [2, 3, 8]])
>>> print(mxaa1)
[[1 2 3]
 [6 4 2]]
>>> print(mxbb1)
[[1 1 0]
 [2 3 8]]
>>> mxaa1 + mxbb1
array([[ 2,  3,  3],
       [ 8,  7, 10]])
>>> mxaa2 = np.array([[1, 3], [2, 4]])
>>> mxbb2 = np.array([[7, 9], [5, 1]])
>>> print(mxaa2)
[[1 3]
 [2 4]]
>>> print(mxbb2)
[[7 9]
 [5 1]]
>>> mxaa2 - mxbb2
array([[-6, -6],
       [-3,  3]])
>>> mxaa1 + mxbb2
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in 
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,3) (2,2)
>>> mxaa1 - mxbb2
Traceback (most recent call last):
  File "", line 1, in 
ValueError: operands could not be broadcast together with shapes (2,3) (2,2)