［Octave］正規分布におけるp値

>> pkg load statistics
>> % 平均10、分散3^2（標準偏差3）の正規分布における確率変数が15のときの下側p値
>> normcdf(15, 10, 3)
ans = 0.9522
>> % 平均10、分散3^2（標準偏差3）の正規分布における確率変数が15のときの上側p値
>> 1 - normcdf(15, 10, 3)
ans = 0.047790
>> % 平均10、分散3^2（標準偏差3）の正規分布における確率変数が15のときの両側p値
>> (1 - normcdf(15, 10, 3)) * 2
ans = 0.095581

［Octave］正規分布におけるパーセント点

>> pkg load statistics
>> % 平均10、分散3^2（標準偏差3）の正規分布における下側5パーセント点
>> norminv(0.05, 10, 3)
ans = 5.0654
>> % 平均10、分散3^2（標準偏差3）の正規分布における上側5パーセント点
>> norminv(1 - 0.05, 10, 3)
ans = 14.935
>> % 平均10、分散3^2（標準偏差3）の正規分布における両側5パーセント点
>> norminv(1 - 0.05 / 2, 10, 3)
ans = 15.880

［Octave］t分布におけるp値

>> % 自由度5のt分布における、確率変数が2のときの上側p値
>> 1 - tcdf(2, 5)
ans = 0.050970
>> # 自由度5のt分布における、確率変数が2のときの両側p値
>> (1 - tcdf(2, 5)) * 2
ans = 0.1019

tcdfは下側p値を返すため、上側p値を得たい場合は1からそれをひく。両側p値は上側p値を2倍する。

［Octave］t分布におけるパーセント点

>> pkg load statistics
>> % 自由度5のt分布における上側5パーセント点
>> tinv(1 - 0.05, 5)
ans = 2.0150
>> % 自由度5のt分布における両側5パーセント点
>> tinv(1 - 0.05 / 2, 5)
ans = 2.5706

［Octave］F分布におけるp値

>> pkg load statistics
>> % 自由度5,7のF分布における、確率変数が2のときの下側p値
>> fcdf(2, 5, 7)
ans = 0.8043
>> % 自由度5,7のF分布における、確率変数が2のときの上側p値
>> 1 - fcdf(2, 5, 7)
ans = 0.1957

［Octave］F分布におけるパーセント点

>> pkg load statistics
>> % 自由度5,7のF分布における、下側5パーセント点
>> finv(0.05, 5, 7)
ans = 0.2051
>> % 自由度5,7のF分布における、上側5パーセント点
>> finv(1 - 0.05, 5, 7)
ans = 3.9715

［Octave］χ^2分布におけるp値

>> pkg load statistics
>> % 自由度5のχ^2分布における、確率変数が12のときの下側p値
>> chi2cdf(12, 5)
ans = 0.9652
>> % 自由度5のχ^2分布における、確率変数が12のときの上側p値
>> 1 - chi2cdf(12, 5)
ans = 0.034788

［Octave］χ^2分布におけるパーセント点

>> pkg load statistics
>> % 自由度5のχ^2分布における、下側5パーセント点
>> chi2inv(0.05, 5)
ans = 1.1455
>> % 自由度5のχ^2分布における、上側5パーセント点
>> chi2inv(1 - 0.05, 5)
ans = 11.070

［Octave］連立一次方程式を解く

linsolve関数を使う。以下の連立一次方程式を解く（解はx=3,y=2）。

 x + 2y = 7
3x - 4y = 1

計算する。

>> mxaa = [1 2; 3 -4]
mxaa =
   1   2
   3  -4
>> mxy = [7; 1]
mxy =
   7
   1
>> linsolve(mxaa, mxy)
ans =
   3
   2

同じく以下の連立一次方程式を解く（解はx=2,y=-3,z=-14）。

 3x - 3y + z =  1
 3x + 2y     =  0
-1x - 5y + z = -1

計算する。

>> mxaa = [3 -3 1; 3 2 0; -1 -5 1]
mxaa =
   3  -3   1
   3   2   0
  -1  -5   1
>> mxy = [1; 0; -1]
mxy =
   1
   0
  -1
>> linsolve(mxaa, mxy)
ans =
    2
   -3
  -14

［Octave］一般逆行列を求める

pinv関数を使う。

>> mx = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]
mx =
    1    2    3    4
    5    6    7    8
    9   10   11   12
   13   14   15   16
>> det(mx)
ans = 0
>> inv(mx)
warning: matrix singular to machine precision
ans =
   Inf   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf   Inf
>> pinv(mx)
ans =
  -2.8500e-01  -1.4500e-01  -5.0000e-03   1.3500e-01
  -1.0750e-01  -5.2500e-02   2.5000e-03   5.7500e-02
   7.0000e-02   4.0000e-02   1.0000e-02  -2.0000e-02
   2.4750e-01   1.3250e-01   1.7500e-02  -9.7500e-02
>> mxi = pinv(mx);
>> mx * mxi * mx
ans =
    1    2    3    4
    5    6    7    8
    9   10   11   12
   13   14   15   16

当然、正方行列でなくとも求めることができる。

>> mx = [1 2 3 4; 5 6 7 8]
mx =
   1   2   3   4
   5   6   7   8
>> det(mx)
error: det: A must be a square matrix
>> inv(mx)
error: inverse: A must be a square matrix
>> pinv(mx)
ans =
  -5.5000e-01   2.5000e-01
  -2.2500e-01   1.2500e-01
   1.0000e-01  -2.3434e-17
   4.2500e-01  -1.2500e-01
>> mxi = pinv(mx)
mxi =
  -5.5000e-01   2.5000e-01
  -2.2500e-01   1.2500e-01
   1.0000e-01  -2.3434e-17
   4.2500e-01  -1.2500e-01
>> mx * mxi * mx
ans =
   1   2   3   4
   5   6   7   8

pinv関数はムーア・ペンローズ一般逆行列を数値的に求める関数のため、求まった一般逆行列は近似値であることに注意。ムーア・ペンローズ一般逆行列の定義の4つの式について、比較をした例は以下のとおり。すべての要素が1にならないことがわかる。

>> mx * mxi * mx == mx
ans =
  0  0  0  0
  0  0  0  0
>> mxi * mx * mxi == mxi
ans =
  1  1
  1  0
  0  0
  0  0
>> (mx * mxi).' == mx * mxi
ans =
  1  0
  0  1
>> (mxi * mx).' == mxi * mx
ans =
  1  1  0  0
  1  1  0  0
  0  0  1  0
  0  0  0  1